数学学習の記録 440 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), オイラーの関数 φ(n) の一般公式

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第23章(数学の中の女王 - 数論へのプレリュード)の23.2(合同式), オイラーの関数 φ(n) の一般公式の問13を解いてみる。

問13

定理 - オイラーの関数 φ(n) の公式を使用して求める。

$81=3^{4}$

よって

$\varphi (81)=3^{4}-3^{3}=52$

$100=2^{2}\cdot5^{2}$

よって

$\varphi(100)=(2^{2}-2^{1})(5^{2}-5)=2\cdot20=40$

もう一つの公式でも確認。

$\varphi(100)=100(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=\frac{100\cdot1\cdot4}{10}=40$

$250=2\cdot5^{3}$

よって

$\varphi(250)=(2^{1}-2^{0})(5^{3}-5^{2})=100$

もう一つの公式でも確認。

$\varphi(250)=250(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{5})=\frac{250\cdot1\cdot4}{10}=100$

$420=2^{2}\cdot3\cdot5\cdot7$

よって

$\varphi(420)=(2^{2}-2)(3-1)(5-1)(7-1)=96$

もう一つの公式でも確認。

$\varphi(420)=420(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{7})$

$=\frac{420\cdot1\cdot2\cdot4\cdot6}{210}=96$

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