数学学習の記録 442 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.2(可算集合), 無限集合と可算集合 | Kamimura's blog

2011年2月8日火曜日

数学学習の記録 442 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.2(可算集合), 無限集合と可算集合

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.2(可算集合), 無限集合と可算集合の問3を解いてみる。

図はiPadのアプリ、neu.Notes - neu.Pen LLCにより作成しました。

問3

$X\cup A=Z$

Zを全体集合とする。Xの補集合をYとすると、

$X^{c}=Y\subset A$

Aは高々可算な集合なので、Yも高々可算な集合である。

よってZは無限集合、Yは高々可算なZの部分集合で、Zに対するYの補集合はXである。よってXは無限集合なので、命題8より集合Zと集合Xは対等、

$Z\sim X$

すなわち、XとAの和集合とXは対等、

$X\cup A\sim X$

となる。

(証明終)

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