数学学習の記録 444 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.4(非可算集合, 連続の濃度), 実数の任意の区間はRと対等である！ | Kamimura's blog

2011年2月10日木曜日

数学学習の記録 444 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.4(非可算集合, 連続の濃度), 実数の任意の区間はRと対等である！

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.4(非可算集合, 連続の濃度), 実数の任意の区間はRと対等である！の問5を解いてみる。

問5

X=[0,1]は無限集合。A={1}とおくと、Aは有限集合。Xに対するAの補集合をY=[0,1)とおく。Yは無限集合なので、高々可算な部分集合Bを含む。Yに対するBの補集合をCとおく。すると、A, B, Cはどの2つも共通部分を持たない集合で、

$Y=B\cup C$

$X=A\cup B\cup C$

となる。ここで

$A\cup B$

は可算集合となる。よって、Bからこの和集合への全単射gが存在する。この全単射gを具体的に作ればいい。

Yを高々可算な部分集合Bを

$B=\left{\frac{1}{2^{1}},\ \frac{1}{2^{2}},\ \frac{1}{2^{3}},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\right}$

とおく。(これは高々可算でY=[0,1)の部分集合となっている。)

$A\cup B=\left{1,\frac{1}{2^{1}},\frac{1}{2^{2}},\frac{1}{2^{3}},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \right}$

写像gを

$g:\frac{1}{2^{n}}\rightarrow \frac{1}{2^{n-1}}\ (n=1,2,\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ )$

とおくと、gは集合Bから集合A,Bの和集合への全単射となる。[0,1)から[0,1]への写像fを

$f(x)=g(x)\ (x\in B)$

$f(x)=x\ (x\in C)$

と定める。fは全単射なのでこの逆写像が閉区間[0,1]から半閉区間[0,1)への全単射の具体例の1つとなる。

(もっと簡単に作れそうな気も。。。)

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