数学学習の記録 445 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.4(非可算集合, 連続の濃度), 連続の濃度 א

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.4(非可算集合, 連続の濃度), 連続の濃度 אの問6, 7を解いてみる。

問6

MはRの部分集合なので、

$card\ M\leq card\ R=\aleph$

また問題の仮定よりMはある開区間を含むので、

$\aleph=card\ (a,b)\leq card\ M$

よってベルンシュタインの定理より、

$card\ M=\aleph$

(証明終)

問7

無理数全体はRに対する有理数全体Qの補集合である。また、有理数全体の集合の濃度は

$card\ Q=\aleph_{0}$

である。

よってRは無限集合、QはRの高々可算な部分集合で、Rに対するQの補集合が無理数全体の集合となり、無理数全体の集合は無限集合である。

ゆえに、命題8より無理数全体の集合は実数全体の集合と対等である。すなわち無理数全体の集合の濃度はアレフである。

$card\ Q^{c}=\aleph$

(証明終)

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