数学学習の記録 446 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.5(直線と平面の対等性), 直線と平面とは対等である！

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第24章(無限をかぞえる - 集合論へのプレリュード)の24.5(直線と平面の対等性), 直線と平面とは対等である！の問8, 9を解いてみる。

問8

問題の仮定より、

$f:X\rightarrow X_{1},\ g:Y\rightarrow Y_{1}$

となる全単射f, gが存在する。

そこで、

$X\times Y$

から

$X_{1}\times Y_{1}$

への写像hを

h(x,y)=(f(x),g(y))

と定めると、この写像hは全単射となっている。よって

$X\times Y$

と

$X_{1}\times Y_{1}$

は対等である。

$X\times Y\sim X_{1}\times Y_{1}$

(証明終)

問9

$A_{1}, A_{2}$

対して

$A=A_{1}\cup A_{2}$

と逆も定まる。よってAに

$A_{1},A_{2}$

を対応させるのは

$P(Z^{+})$

から

$P(E_{1})\times P(E_{2})$

への全単射である。

$P(Z^{+})\sim P(E_{1})\times P(E_{2})$

このことと、命題11, 問4, 問8より、

$R\sim P(Z^{+})$

$\sim P(E_{1})\times P(E_{2})$

$\sim R\times R$

ゆえに、

$R\sim R\times R$

(証明終)

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