数学学習の記録 448 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)の25.1(数列の極限), 単調有界数列は収束する！の問3, 4, 5

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)の25.1(数列の極限), 単調有界数列は収束する！の問3, 4, 5を解いてみる。

問3

$0<s\leq 2$

のとき、問題の数列は単調増加で、すべてのn(n=1, 2, ・・・)に対して、

$a_{n}\leq 2$

となるので上に有界である。よって単調増加で上に有界なので収束する。

のとき、問題の数列は単調減少で、すべてのn(=1, 2, ・・・)に対して、

$a_{n}\geq 2$

となるので下に有界である。よって単調減少で下の有界なので収束する。

そして、その求める極限は、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=\frac{1+\sqrt{1+4s}}{2}$

問4

(1)

$a_{1}\geq a_{2}\geq\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \geq a_{n}\geq\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

$\geq b_{n}\geq\ \cdot\ \cdot\ \geq b_{2}\geq b_{1}$

が成り立つと仮定すると、相加平均>=相乗平均より、

$a_{n}\geq \frac{a_{n}+b_{n}}{2}\geq\sqrt{a_{n}b_{n}}\geq\sqrt{b_{n}^{2}}=b_{n}$

すなわち、

$a_{n}\geq a_{n+1}\geq b_{n+1}\geq b_{n}$

となる。よって帰納法よりすべてのn(=1, 2, ・・・)に対して成り立つ。

(証明終)

(2)

数列

$\left{a_{n}\right},\ \left{b_{n}\right}$

はそれぞれ単調減少で下に有界、単調増加で上に有界なので収束する。その極限値をそれぞれα、βとおくと、

α=(α+β)/2

α=β

(証明終)

問5

nを

$n\leq x< n+1$

を満たす自然数とすれば、

$(1+\frac{1}{n+1})^{n}<(1+\frac{1}{x})^{x}<(1+\frac{1}{n})^{n+1}$

となる。

また、xが無限大に発散する時、nも無限大に発散する。

ここで左辺について、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}(1+\frac{1}{n+1})^{-1}}=e$

右辺について、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{n})^{n}(1+\frac{1}{n})=e$

ゆえに、

$\lim_{x\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{x})^{x}}=e$

が成り立つ。

(証明終)

Kamimura's blog

2011年2月14日月曜日