数学学習の記録 449 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)の25.1(数列の極限), 単調有界数列は収束する！の問6, 7

2011年2月15日火曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)の25.1(数列の極限), 単調有界数列は収束する！の問6, 7を解いてみる。

問6

X=-Zとおくと、xが-無限大に発散する時、zは無限大に発散する。

よって

$\lim_{x\rightarrow-\infty}{(1+\frac{1}{x})^{x}$

$=\lim_{z\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{-z})^{-z}$

$=\lim_{z\rightarrow\infty}{(\frac{z}{z-1})^{z}$

$=\lim_{z\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{z-1})^{z}}$

$=\lim_{z\rightarrow\infty}{(1+\frac{1}{z-1})^{z-1}(\frac{z}{z-1})=e$

(証明終)

問7

h=1/xとおけば、hが0に収束するとき、xは無限大、あるいは-無限大に発散する。よって問5, 問6より

$\lim_{h\rightarrow0}{(1+h)^{\frac{1}{h}}}$

$=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}{(1+\frac{1}{x})^{x}}=e$

(証明終)