数学学習の記録 450 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)の25.2(関数の極限, 連続関数の性質), 単調な連続関数の逆関数についての定理の証明

2011年2月16日水曜日

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第25章(解析学の基礎へのアプローチ - εとδ)の25.2(関数の極限, 連続関数の性質), 単調な連続関数の逆関数についての定理の証明の問8を解いてみる。

問8

Rの部分集合Jが有界のとき。

上限、下限が存在するので

$J\subset [inf\ J,sup\ J]$

このとき、

$inf\ J\leq\alpha<\gamma<\beta\leq sup\ J$

となるのでγも集合Jに属する。

Rの部分集合Jが上に有界のとき。

上限が存在するので、

$J\subset(-\infty,sup\ J]$

このとき、

$\alpha<\gamma<\beta\leq sup\ J$

よってγも集合Jに属する。

Rの部分集合Jが下に有界のとき。

上に有界のときと同様に証明できる。

Rの部分集合が上にも下にも有界ではないとき。

$-\infty<\alpha<\gamma<\beta<+\infty$

よってγも集合Jに属する。

(証明終)