数学学習の記録 451 "数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第26章(エピローグ - 落ち穂拾い、など)の26.4(確率分布と平均), 確率編スの平均または期待値の問1, 2, 3

"数学読本〈6〉線形写像・1次変換/数論へのプレリュード/集合論へのプレリュードなど"の第26章(エピローグ - 落ち穂拾い、など)の26.4(確率分布と平均), 確率編スの平均または期待値の問1, 2, 3を解いてみる。

問1

eをSの要素とし、X(e)のうち異なる値の全体を

$\left{x_{1},x_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,x_{n}\right}$

とし、それぞれの値をとる要素の集合を

$A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,A_{n}$

また、それぞれの確率を

$P(A_{i})=p_{i}$

とする。そのとき

$\sum_{i=1}^{N}{X(e_{i})P(e_{i})$

$=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +x_{n}p_{n}=E(X)$

(証明終)

問2

$E(aX+b)=\sum_{i=1}^{n}{(ax_{i}+b)p_{i}}$

$=a\sum_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}+b\sum_{i=1}^{n}{p_{i}}$

(証明終)

問3

有限標本空間を

$S=\left{e_{1},e_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,e_{N}\right}$

とおくと、

$E(X+Y)=\sum_{i=1}^{N}(X+Y)(e_{i})P(e_{i})$

$=\sum_{i=1}^{N}(X(e_{i})+Y(e_{i}))P(e_{i})$

$=\sum_{i=1}^{N}X(e_{i})P(e_{i})+\sum_{i=1}^{N}Y(e_{i})P(e_{i})$

問い市よりこれは

と等しい。よって

(証明終)

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