数学学習の記録 458 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.1(実数)の問題1.1, 4, 5 | Kamimura's blog

2011年2月24日木曜日

数学学習の記録 458 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.1(実数)の問題1.1, 4, 5

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.1(実数)の問題1.1, 4, 5を解いてみる。

問題1.1

4.

$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

とおくと、

$a^{2}=5+2\sqrt{6}$

$\sqrt{6}=\frac{a^{2}-5}{2}$

ここで、ここでaが有理数だと仮定すると、

$\sqrt{6}$

が有理数となり無理数であるという仮定と矛盾する。

ゆえに、

$a=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

は無理数である。

(証明終)

5.

x, yを

x<y

を満たす任意の実数とする。

aを無理数とする。

そのとき、有理数は数直線上に稠密に存在するので

x-a<q<y-a

を満たす有理数qが存在する。

ゆえに、

x<q+a<y

ここで、問題1.1, 1より有理数+無理数は無理数なので、q+aは無理数となる。

これを

z=q+a

とおけば、zは無理数で

x<z<y

すなわち数直線上に無理数も稠密に存在する。

(証明終)

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)