数学学習の記録 459 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.2(自然数, 整数)の問題1.2, 1, 2, 3

Sに含まれない自然数全体の集合をTとする。

もしTが空集合ではない

$T\ne\phi$

ならば、整列性によってTには最小元 $n_{0}$ がある。(1')によってこの最小限は0ではない。

$n_{0}\ne0$

よって

$n_{0}>0,\ n_{0}-1\geq0$

である。ここで $n_{0}$ はTの最小限であったので、

$0\leq k<n_{0}$

である全ての自然数kはSの元なので、(2)より $n_{0}$ もSに含まれる。これは仮定と矛盾する。

(証明終)

集合

$\left{n-A|n\in S$

は自然数全体の集合Nの部分集合である。よってこの集合は整列性により最小限 $n_{0}$ をもつ。よって

$A+n_{0}$

がSの最小限となる。

Sが最大限をもつ場合も同様に証明すればよい。

(証明終)

Rのアルキメデス正によって任意の実数xに対して

k<x<l

を満たす整数k, lが存在する。ここで、

x<n

を満たす整数nの全体の集合は前問2より最小限をもつ。この最小限を

m+1

とおけば、

$m\leq x<m+1$

(証明終)

Kamimura's blog