数学学習の記録 464 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 1 | Kamimura's blog

2011年3月2日水曜日

数学学習の記録 464 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 1

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 1を解いてみる。

問題1.4

1.

n=1のとき成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると、

$(1+h)^{k}\geq 1+kh$

が成り立つので、

$(1+h)^{k+1}$

$=(1+h)^{k}(1+h)$

$\geq(1+kh)(1+h)$

$=1+(k+1)h+kh^{2}$

$\geq 1+(k+1)h$

よってn=k+1のときも成り立つ。

ゆえに、帰納法より任意の

$n\in Z^{+}$

に対して問題の命題は成り立つ。

(証明終)

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