数学学習の記録 466 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 3

$\beta+\gamma=\delta$

とおく。

$\alpha>0^{*}>\beta,\gamma$

のとき、

$\alpha(\beta+\gamma)$

$=\alpha(-(-\beta)-(-\gamma))$

$=(-\alpha)((-\beta)+(-\gamma))$

$=(-\alpha)(-\beta)+(-\alpha)(-\gamma)$

$=\alpha\beta+\alpha\gamma$

$\alpha,\gamma>0^{*}>\beta$

のとき、

$\alpha(\beta+\gamma)$

$=\alpha((-(-\beta))+\gamma)$

$=(-\alpha)(-\beta)+\alpha\gamma$

$=\alpha\beta+\alpha\gamma$

$\alpha<0^{*}<\beta,\gamma$

のとき、

$\alpha(\beta+\gamma)$

$=-(-\alpha)(\beta+\gamma)$

$=-(-\alpha\beta-\alpha\gamma)$

$=\alpha\beta+\alpha\gamma$

$\alpha,\beta<0^{*}<\gamma$

の場合、

$\alpha(\beta+\gamma)$

$=-(-\alpha)((-(-\beta))+\gamma)$

$=(-\alpha)(-\beta)-(-\alpha)\gamma$

$=\alpha\beta+\alpha\gamma$

$\alpha,\beta,\gamma<0^{*}$

の場合。

$\alpha(\beta+\gamma)$

$=-(-\alpha)((-(-\beta))+(-(-\gamma)))$

$=-(-\alpha\beta-\alpha\gamma)$

$=\alpha\beta+\alpha\gamma$

(証明終)

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