Kamimura's blog
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2011年3月5日土曜日
数学学習の記録 467 "解析入門〈1〉数/数列と級数/関数の極限と連続性/微分法/各種の初等関数 松坂 和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 4
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解析入門〈1〉数/数列と級数/関数の極限と連続性/微分法/各種の初等関数 松坂 和夫 (著)
"の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 4を解いてみる。
問題1.4
4.
A, A'はともに実数の部分集合なので上限、下限が存在する。
Aの最大元、A'の最小限がともに存在しないと仮定する。
すると、
となるので、
となる。よって
inf A< sup A'
となる。実数の稠密性により、
inf A'<r<sup A
を満たす実数rが存在することになるが、
となり、
という仮定と矛盾する。
ゆえに、(A, A')を実数の切断とすると、Aの最大元またはA'の最小元のいずれかが存在する。
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