数学学習の記録 467 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数 松坂 和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 4

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数 松坂 和夫 (著) "の第1章(数)の1.4(実数体の構成), 問題1.4, 4を解いてみる。



問題1.4

4.

A, A'はともに実数の部分集合なので上限、下限が存在する。

Aの最大元、A'の最小限がともに存在しないと仮定する。

すると、

となるので、

となる。よって

inf A< sup A'

となる。実数の稠密性により、

inf A'<r<sup A

を満たす実数rが存在することになるが、

となり、

という仮定と矛盾する。

ゆえに、(A, A')を実数の切断とすると、Aの最大元またはA'の最小元のいずれかが存在する。