数学学習の記録 469 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.1(数列), 問題2.1, 1

(a)

仮定より任意のε(>0)に対してある自然数

$n_{1},n_{2}\in N$

が存在し、任意の自然数nに対して

$n\geq n_{1}\Rightarrow |a_{n}-\alpha|<\epsilon$

$n\geq n_{2}\Rightarrow|b_{n}-\beta|<\epsilon$

が成り立つ。ここで、

$N=max\left{n_{1},n_{2}\right}$

とおけば、

$n\geq N\Rightarrow|a_{n}-\alpha|<\epsilon\wedge|b_{n}-\beta|<\epsilon$

が成り立つ。よって

$-\epsilon<a_{n}-\alpha<\epsilon,-\epsilon<b_{n}-\beta<\epsilon$

$\epsilon\leq\beta-b_{n}\leq-\epsilon$

$\beta-\alpha\geq b_{n}-a_{n}\geq 0$

ゆえに、

$\alpha\leq\beta$

(b)

問題の仮定と十分条件より、任意の実数ε(>0)に対してある自然数Nが存在して、任意の自然数nに対して

$n\geq N\Rightarrow \epsilon<a_{n}\leq b_{n}$

が成り立つ。よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}{b_{n}}=+\infty$

(c)

問題の仮定と十分条件より、任意の実数ε(<0)に対してある自然数Nが存在して、任意の自然数nに対して

$n\geq N\Rightarrow a_{n}\leq b_{n}<\epsilon$

が成り立つ。よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=-\infty$

Kamimura's blog