数学学習の記録 472 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.1(数列), 問題2.1, 5

問題の仮定より、任意の実数ε(>0)に対してある自然数Nが存在し、任意の自然数nに対して

n>N ならば |a_n - α |<ε

が成り立つ。ここで、

$|\frac{a_{1}+a_{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_n}{n}-\alpha|$

$=|\frac{(a_1-\alpha)+(\a_2-\alpha)+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(a_n-\alpha)}{n}|$

$<|\frac{(a_1-\alpha)+(a_2-\alpha)+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(a_N-\alpha)+(n-N)\epsilon}{n}|$

$<\frac{|a_1-\alpha|+|a_2-\alpha|+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +|a_N-\alpha|}{n}+\epsilon$

さらに十分大きな自然数M>Nをとれば、n>Mのとき

$\frac{|a_1-\alpha|+|a_2-\alpha|+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +|a_N-\alpha|}{n}<\epsilon$

となる。よってn>Mならば

$|\frac{a_1+a_2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_n}{n}-\alpha|<2\epsilon$

となる。ゆえに、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_n}=\alpha$

ならば、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{a_1+a_2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +a_n}{n}}=\alpha$

である。

(証明終)

Kamimura's blog