数学学習の記録 473 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 1 | Kamimura's blog

2011年3月11日金曜日

数学学習の記録 473 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 1

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 1を解いてみる。

問題2.2

1.

$a_{n+1}-a_{n}$

$=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}-a_{n}$

$=\frac{b_{n}-a_{n}}{2}$

n=1のとき、

$\frac{b_{1}-a_{1}}{2}=\frac{b-a}{2}<0$

n=kのとき、

$\frac{b_{k}-a_{k}}{2}<0$

$b_{k}<a_{k}$

が成り立つと仮定すると、

$\frac{b_{k+1}-a_{k+1}}{2}$

$=\frac{\sqrt{a_{k}b_{k}}-\frac{a_{k}+b_{k}}{2}}{2}$

$<\frac{b_{k}-a_{k}}{2}$

また、

$a_{n}\geq0$

より下に有界。よって数列 $(a_{n})$ は単調減少で下に有界なので収束する。その極限値をαとおく。

$b_{n+1}-b_{n}=\sqrt{a_{n}b_{n}}-b_{n}$

n=1のとき、

$b_{2}-b_{1}=\sqrt{a_{1}b_{1}}-b_{1}$

$=\sqrt{ab}-b>a-b>0$

n=kのとき

$b_{k+1}-b_{k}=\sqrt{a_{k}b_{k}}-b_{k}>0$

が成り立つと仮定すると、

$b_{k+2}-b_{k+1}$

$=\sqrt{a_{k+1}b_{k+1}}-\sqrt{a_{k}b_{k}}$

$>\sqrt{a_{k+1}b_{k+1}}-b_{k}$

$=\sqrt{a_{k+1}\sqrt{a_{k}b_{k}}}-b_{k}$

$>\sqrt{a_{k}b_{k}}-b_{k}=0$

また、

$\sqrt{a_{n}b_{n}}\leq a$

よって、数列 $(b_{n})$ は単調増加で上に有界なので収束する。その極限値をβとおく。

極限値α、βを求める。

$\alpha=\frac{\alpha+\beta}{2},\ \beta=\sqrt{\alpha\beta}$

この連立方程式を解くと、

α=β

となる。ゆえに、2つの数列は同一の極限に収束する。

(証明終)

0 コメント:

コメントを投稿

コメントの投稿(Atom)