数学学習の記録 476 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 4 | Kamimura's blog

2011年3月14日月曜日

数学学習の記録 476 "解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 4

"解析入門〈1〉数／数列と級数／関数の極限と連続性／微分法／各種の初等関数松坂和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 4を解いてみる。

問題2.2

4.

(a)

$a_{n+2}-a_{n}=\frac{a_{n+1}+\alpha}{a_{n+1}+1}-a_{n}$

$=\frac{\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}+\alpha}{\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}+1}-a_{n}$

$=\frac{(\alpha+1)a_{n}+2\alpha}{2a_{n}+\alpha+1}-a_{n}$

$=\frac{-2a_{n}^{2}+2\alpha}{2a_{n}+\alpha+1}$

$=\frac{2(\alpha-a_{n}^{2})}{2a_{n}+\alpha+1}$

また、

$a_{n+1}-\sqrt{\alpha}=\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}-\sqrt{\alpha}$

$=\frac{a_{n}+\alpha-\sqrt{\alpha}a_{n}-\sqrt{\alpha}}{a_{n+1}+1}$

$=\frac{(\sqrt{\alpha}-1)(\sqrt{\alpha}-a_{n})}{a_{n+1}+1}$

上記のことから、

$a_{n}<\sqrt{\alpha}$

ならば

$a_{n+1}>\sqrt{\alpha}$

$a_{n}<a_{n+2}$

また

$a_{n}>\sqrt{\alpha}$

ならば、

$a_{n+1}<\sqrt{\alpha}$

$a_{n}>a_{n+2}$

ここで、

$a_{1}<\sqrt{\alpha}$

なので、数列 $(a_{2n-1})$ は単調増加、数列 $(a_{2n})$ は単調減少となる。

(b)

数列 $(a_{2n-1})$ は

$a_{n+1}=\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}<\alpha$

となり、上に有界で単調増加なので収束する。極限値をβとおくと、

$\frac{2(\alpha-\beta^{2})}{2\beta+\alpha+1}=0$

$\beta=\sqrt{\alpha}$

同様に数列 $(a_{2n})$ も $\sqrt{\alpha}$ に収束する。よって数列 $(a_{n})$ は $\sqrt{\alpha}$ に収束する。

(証明終)

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