2011年3月14日月曜日

"解析入門〈1〉数/数列と級数/関数の極限と連続性/微分法/各種の初等関数 松坂 和夫 (著) "の第2章(数列と級数)の2.2(数列の収束条件), 問題2.2, 4を解いてみる。



問題2.2

4.

(a)

a_{n+2}-a_{n}=\frac{a_{n+1}+\alpha}{a_{n+1}+1}-a_{n}

=\frac{\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}+\alpha}{\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}+1}-a_{n}

=\frac{(\alpha+1)a_{n}+2\alpha}{2a_{n}+\alpha+1}-a_{n}

=\frac{-2a_{n}^{2}+2\alpha}{2a_{n}+\alpha+1}

=\frac{2(\alpha-a_{n}^{2})}{2a_{n}+\alpha+1}

また、

a_{n+1}-\sqrt{\alpha}=\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}-\sqrt{\alpha}

=\frac{a_{n}+\alpha-\sqrt{\alpha}a_{n}-\sqrt{\alpha}}{a_{n+1}+1}

=\frac{(\sqrt{\alpha}-1)(\sqrt{\alpha}-a_{n})}{a_{n+1}+1}

上記のことから、

a_{n}<\sqrt{\alpha}

ならば

a_{n+1}>\sqrt{\alpha}

a_{n}<a_{n+2}

また

a_{n}>\sqrt{\alpha}

ならば、

a_{n+1}<\sqrt{\alpha}

a_{n}>a_{n+2}

ここで、

a_{1}<\sqrt{\alpha}

なので、数列(a_{2n-1})は単調増加、数列(a_{2n})は単調減少となる。

(b)

数列(a_{2n-1})

a_{n+1}=\frac{a_{n}+\alpha}{a_{n}+1}<\alpha

となり、上に有界で単調増加なので収束する。極限値をβとおくと、

\frac{2(\alpha-\beta^{2})}{2\beta+\alpha+1}=0

\beta=\sqrt{\alpha}

同様に数列(a_{2n})\sqrt{\alpha}に収束する。よって数列(a_{n})\sqrt{\alpha}に収束する。

(証明終)

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