数学 - 2次方程式と複素数(2数を解とする方程式)

学習環境

数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)3.2(2次方程式と複素数)問14を解いてみる。

問4.

2次方程式の解と係数の関係により

$α + β = 2, α β = \frac{5}{2}$

(1)

$(α + 3) + (β + 3) = 8, (α + 3) (β + 3) = \frac{35}{2}$

よって $α + 3, β + 3
を解とする2次方程式は$

$x^{2} - 8 x + \frac{35}{2} = 0$

すなわち

$2 x^{2} - 16 x + 35 = 0$

(2)

$α^{2} + β^{2} = {(α + β)}^{2} - 2 α β = - 1, α^{2} β^{2} = \frac{25}{4}$

よって $α^{2}, β^{2}$ を解とする2次方程式は

$x^{2} + x + \frac{25}{4} = 0$

すなわち

$4 x^{2} + 4 x + 25$

(3)

$\frac{1}{2 α - 1} + \frac{1}{2 β - 1} = \frac{2 (α + β) - 2}{4 α β - 2 (α + β) + 1} = \frac{2}{7}$

$\frac{1}{2 α - 1} \cdot \frac{1}{2 β - 1} = \frac{1}{4 α β - 2 (α + β) + 1} = \frac{1}{7}$

よって $\frac{1}{2 α - 1}, \frac{1}{2 β - 1}$ を解とする2次方経式は

$x - \frac{2}{7} x + \frac{1}{7} = 0$

すなわち

$7 x - 2 x + 1 = 0$

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