数学 - 整式の除法と分数式(最大公約数、最小公倍数と2つの整式)

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第2章(文字と記号の活躍 - 式の計算)2.3(整式の除法と分数式)問17を解いてみる。

問17.

求める2つの整式をA、B、最大会約数をG、最小公倍数をLとする。また、$A=G{A}^{\prime }$ 、 $B=G{B}^{\prime }$ とする。A、Bは次数が等しいので、$A^{\prime }$ 、$B^{\prime }$ は次数が等しい。しかも互いに素。そして$L=G{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ 。よって

$A^{\prime }{B}^{\prime }=L÷G=\frac{{\left(x-2\right)}^2\left(x+4\right)}{x-2}=\left(x-2\right)\left(x+4\right)$

となる。よって

$A^{\prime }=x-2\text{ ,}{B}^{\prime }=x+4$

以上より、求める2つの整式は

${\left(x-2\right)}^2\text{,}\left(x-2\right)\left(x+4\right)$

次数が等しいという制限をつけない場合は、

$x-2\text{ ,}{\left(x-2\right)}^2\left(x+4\right)$

も答の1つとなる。