数学 - 高次方程式(剰余の定理(余りから余りを求める))

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)3.3(高次方程式)問17を解いてみる。

問17.

$p_{\left(x\right)}$ を2次式$2x^2+x-1=\left(x+1\right)\left(2x-1\right)$ で割った余りは1次以下の式なのでその余りを$ax+b$ という形に書くことができる。よって、商を$Q\left(x\right)$ とすると、

$P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(2x-1\right)Q\left(x\right)+ax+b$

という等式が成り立つ。この等式の両辺のxに -1、 $\frac{1}{2}$ をそれぞれ代入すると

$P\left(-1\right)=-a+b\text{,}P\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}a+b$

また、仮定により

$P\left(-1\right)=6\text{,}P\left(\frac{1}{2}\right)=3$

なので、

$-a+b=6\text{,}\frac{1}{2}a+b=3$

このa、 b についての連立方程式を解くと、

$a=-2\text{,}b=4$

よって求める余りは

$-2x+4$