数学 - 集合・命題・条件(判別式)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.4(集合・命題・条件)問41を解いてみる。

問41.

仮定より、

$b^{2} - a c < 0, c^{2} - a b = 0$

このとき、

$a^{2} - b c = \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} + 2 a b + 2 a c - 2 b^{2} - 2 c^{2}}{2}$

$= \frac{{(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2}}{2} - (b^{2} - a c) > 0$

よって、2次方程式

$c x^{2} + 2 a x + b = 0$

は異なる2つの実数解をもつ。

(証明終)

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