数学 - 集合・命題・条件(裏・対偶)

数学読本〈1〉
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・式の計算/方程式/不等式 の第4章(大小関係をみる - 不等式)4.4(集合・命題・条件)問40を解いてみる。

問40.

(1)

$m$ 、$n$ をともに奇数とし、

$m=2k+1\text{,}n=2l+1$

とおく。このとき、

$nn=\left(2k+1\right)\left(2l+1\right)=2j+1$

という形になる。よって$mn$ は偶数。

よってこの対偶も成り立つので問題の命題も成り立つ。

(証明終)

(2)

$a$ 、$b$ ともに5以下とする。このとき、

$a=b=5$

とすると、

$a^2+b^2=50$

よって、

$a>0\text{,}b>0\text{,}{a}^2+b^2>50$

ではない。

問題の命題はこの対偶なので成り立つ。

(証明終)

(3)

$m$ 、$n$のいずれかは3の倍数ではないとする。

$m=3k+1$

のとき、

${\left(3k+1\right)}^2=3l+1$

という形になり、$n$ が3の倍数であってもなくても

$m^2+n^2$

は3の倍数ではない。

$m=3k+2$

のとき、

$m^2=3l+4=3\left(l+1\right)+1$

となり、上記と同様に

$m^2+n^2$

は3の倍数ではない。

よって問題の命題はこの対偶なので'成り立つ。

(証明終)