数学 - 関数とそのグラフ(最大値と最小値(対角線の最小値))

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数学読本〈2〉簡単な関数/平面図形と式/指数関数・対数関数/三角関数の第5章(関連しながら変化する世界 - 簡単な関数)5.1(関数とそのグラフ)問14を解いてみる。

問24.

対角線の長さをzとおくと、

$2 x + y = 20, z^{2} = x^{2} + y^{2}$

$y = 20 - 2 x (0 < x < 10)$

$z^{2} = x^{2} + 4 x^{2} - 80 x + 400$

$= 5 x^{2} - 80 x + 400$

$= 5 {(x - 8)}^{2} + 80$ $(0 < x < 10)$

よって対角線の長さzが最小になるのは、 $x = 8$ のときでそのとき $y = 4、対角線の長さは、$

$z = \sqrt{z^{2}} = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5} (c m)$

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