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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、4(写像に関する諸概念)、問題19-b.を解いてみる。
問題19-b.
S(m,1)=11∑k=0(−1)1−k(1k)km=1m=1
S(m,n)=nm−n−1∑k=1(nk)S(m,k)=nm−n−1∑k=1(nk)k∑j=0(−1)k−j(kj)jm=nm−n−1∑k=1k∑j=0(−1)k−j(nk)(kj)jm=nm−n−1∑k=1k∑j=0(−1)k−jn!k!(n−k)!·k!j!(k−j)!jm=nm−n−1∑k=1k∑j=0(−1)k−jn!j!(n−j)!·(n−j)!(k−j)!((n−j)−(k−j))!jm=nm−n−1∑k=1k∑j=0(−1)k−j(nj)(n−jk−j)jm=nm−n−1∑j=0(nj)n−1∑k=j(−1)k−j(n−jk−j)jm=nm−n−1∑j=0(nj)(−1)n−1−jjm=nm−n−1∑k=0(nk)(−1)n−k−1km=(nn)(−1)n−nnm+n−1∑k=0(nk)(−1)n−kkm=n∑k=0(nk)(−1)n−kkm
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