数学 – 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(普遍集合の部分集合族,de Morgan の法則の一般化)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題3.を解いてみる。

問題3.

$\begin{array}{l}x\in {\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)}^c\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\notin A_{\lambda }\right]\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }{}^c\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }{}^c}\\ \\ x\in {\left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)}^c\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\notin A_{\lambda }\right]\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }{}^c\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }{}^c}\end{array}$