数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 2次方程式と複素数(解と係数の関係)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.2(2次方程式と複素数)、解と係数の関係の問9.を解いてみる。

問9.

$\alpha +\beta =2,\alpha \beta =\frac{5}{2}$

1. 
   ${\left(\alpha +\beta \right)}^2-4\alpha \beta =4-10=-6$
2. 
   $\begin{array}{l}{\left(\alpha +\beta \right)}^3-3\left({\alpha }^2\beta +\alpha {\beta }^2\right)\\ =8-3\alpha \beta \left(\alpha +\beta \right)\\ =8-15\\ =-7\end{array}$
3. 
   $\frac{\alpha +\beta }{\alpha \beta }=\frac{4}{5}$
4. 
   $\begin{array}{l}{\left({\alpha }^2+{\beta }^2\right)}^2-3{\alpha }^2{\beta }^2\\ ={\left({\left(\alpha +\beta \right)}^2-2\alpha \beta \right)}^2-3·\frac{25}{4}\\ ={\left(4-5\right)}^2-\frac{75}{4}\\ =-\frac{71}{4}\end{array}$