数学 – 集合と写像 - 添数づけられた族、一般の直積(集合族の和集合, 共通部分)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(集合と写像)、5(添数づけられた族、一般の直積)、問題5.を解いてみる。

問題5.

1. 
   $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\cap \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\wedge x\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\wedge \exists \mu \in M\left[x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \exists \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M\left[x\in A_{\lambda }\cap B_{\mu }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M}{\cup }\left(A_{\lambda }\cap B{\text{}}_{\mu }\right)}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\cup \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff x\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\vee x\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[x\in A_{\lambda }\right]\vee \forall \mu \in M\left[x\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M\left[x\in A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right]\\ \iff x\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M}{\cap }\left(A_{\lambda }\cup B_{\mu }\right)}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\left(a,b\right)\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff a\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cup }{A}_{\lambda }}\right)\times b\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cup }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \exists \lambda \in \Lambda \left[a\in A_{\lambda }\right]\wedge \exists \mu \in M\left[b\in B_{\mu }\right]\\ \iff \exists \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M\left[\left(a,b\right)\in A_{\lambda }\times B_{\mu }\right]\\ \iff \left(a,b\right)\in {\displaystyle \underset{\lambda \in \left(\lambda \times M\right)}{\cup }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\left(a,b\right)\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\times \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff a\in \left({\displaystyle \underset{\lambda \in \Lambda }{\cap }{A}_{\lambda }}\right)\times b\in \left({\displaystyle \underset{\mu \in M}{\cap }{B}_{\mu }}\right)\\ \iff \forall \lambda \in \Lambda \left[a\in A_{\lambda }\right]\wedge \forall \mu \in M\left[b\in B_{\mu }\right]\\ \iff \forall \left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M\left[\left(a,b\right)\in A_{\lambda }\times B_{\mu }\right]\\ \iff \left(a,b\right)\in {\displaystyle \underset{\left(\lambda ,\mu \right)\in \Lambda \times M}{\cap }\left(A_{\lambda }\times B_{\mu }\right)}\end{array}$