数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 高次方程式(連立2次方程式, 2次と2次の場合, 実数, 複素数)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.3(高次方程式)、連立2次方程式の問37.を解いてみる。

問37.

\begin{array}{l} x, y \in R \\ z = x + y i \\ z^{2} = {(x + y i)}^{2} \\ = x^{2} - y^{2} + 2 x y i \end{array}

$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 15 \\ 2 x y = - 8 \\ x y = - 4 \\ y = - \frac{4}{x} \\ x^{2} - \frac{16}{x^{2}} = 15 \\ x^{4} - 15 x^{2} - 16 = 0 \\ (x^{2} - 16) (x^{2} + 1) = 0 \\ x^{2} = 16 \\ x = \pm 4, y = \mp 1 \\ z = \pm 4 \mp i \end{array}$
$\begin{array}{l} x^{2} - y^{2} = 0 \\ 2 x y = 4 \\ y = \frac{2}{x} \\ x^{2} - \frac{4}{x^{2}} = 0 \\ x^{4} - 4 = 0 \\ (x^{2} - 2) (x^{2} + 2) = 0 \\ x^{2} = 2 \\ x = \pm \sqrt{2} . y = \pm \sqrt{2} \\ z = \pm \sqrt{2} \pm \sqrt{2} i \end{array}$

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