数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 等式の証明(恒等式)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、恒等式の問41.を解いてみる。

問41.

1. 
   $\begin{array}{l}{a}^2{c}^2+k{a}^2{d}^2+k{b}^2{c}^2+k^2{b}^2{d}^2\\ a^2{c}^2+2kabcd+k^2{b}^2{d}^2+k{a}^2{d}^2+k{b}^2{c}^2-2kabcd\\ =a^2{c}^2+k{a}^2{d}^{2}k{b}^2{c}^2+k^2{b}^2{d}^2\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\\ =a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}\\ =\frac{1-y+1-x}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\\ =\frac{\left(1-y\right)\left(1-x\right)-xy+1}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\\ =1+\frac{1-xy}{\left(1-x\right)\left(1-y\right)}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\frac{b\left(a+b+c\right)+ac}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\\ =\frac{ab+b^2+bc+ac}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\\ \frac{1}{a}-\frac{1}{a+b+c}\\ =\frac{b+c}{a\left(a+b+c\right)}\\ =\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\\ =\frac{ab+b^2+bc+ac}{a\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)}\end{array}$