数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 等式の証明(恒等式)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、恒等式の問41.を解いてみる。

問41.

$\begin{array}{l} a^{2} c^{2} + k a^{2} d^{2} + k b^{2} c^{2} + k^{2} b^{2} d^{2} \\ a^{2} c^{2} + 2 k a b c d + k^{2} b^{2} d^{2} + k a^{2} d^{2} + k b^{2} c^{2} - 2 k a b c d \\ = a^{2} c^{2} + k a^{2} d^{2} k b^{2} c^{2} + k^{2} b^{2} d^{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{1}{2} (2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 c a) \\ = a^{2} + b^{2} + c^{2} - a b - b c - c a \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 - y} \\ = \frac{1 - y + 1 - x}{(1 - x) (1 - y)} \\ = \frac{(1 - y) (1 - x) - x y + 1}{(1 - x) (1 - y)} \\ = 1 + \frac{1 - x y}{(1 - x) (1 - y)} \end{array}$
$\begin{array}{l} \frac{b (a + b + c) + a c}{a (a + b) (a + b + c)} \\ = \frac{a b + b^{2} + b c + a c}{a (a + b) (a + b + c)} \\ \frac{1}{a} - \frac{1}{a + b + c} \\ = \frac{b + c}{a (a + b + c)} \\ = \frac{(a + b) (b + c)}{a (a + b) (a + b + c)} \\ = \frac{a b + b^{2} + b c + a c}{a (a + b) (a + b + c)} \end{array}$

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