数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 等式の証明(比例式, 連比2)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、比例式の問48.を解いてみる。

問48.

$\begin{array}{l} \frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z} = k \\ a = k x \\ b = k y \\ c = k z \\ \frac{k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2} + k^{2} z^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = k^{2} \\ \frac{k^{2} x y + k^{2} y z + k^{2} z x}{x y + y z + z x} = k^{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} (k^{2} x^{2} + k^{2} y^{2} + k^{2} z^{2}) (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \\ = k^{2} {(x^{2} + y^{2} + z^{2})}^{2} \\ {(k x^{2} + k y^{2} + k z^{2})}^{2} \\ = k^{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \end{array}$

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