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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、2(群とその例)、問9.を解いてみる。
問9.
A,B,C∈P(S)(AΔB)ΔC=((A−B)∪(B−A))ΔC=(((A−B)∪(B−A))−C)∪(C−((A−B)∪(B−A)))=((A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc))∪(C−((A∩Bc)∪(B∩Ac)))=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(C∩((A∩Bc)∪(B∩Ac))c)=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(C∩((Ac∪B)∩(Bc∪A)))=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(C∩((Ac∩Bc)∪(A∩B)))=(A∩Bc∩Cc)∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)∪(A∩B∩C)=(A∩Bc∩Cc)∪(A∩B∩C)∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)=(A∩((Bc∩Cc)∪(B∩C)))∪(Ac∩B∩Cc)∪(Ac∩Bc∩C)=(A∩((Bc∪C)∩(B∪Cc)))∪(((B∩Cc)∪(C∩Bc))∩Ac)=(A−((B∩Cc)∪(Bc∩C)))∪(((B∩Cc)∪(C∩Bc))−A)=((A−((B−C)∪(C−B)))∪(((B−C)∪(C−B))−A))=AΔ((B−C)∪(C−B))=AΔ(BΔC)
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