数学 - 群論 - 群とその例(全ての公理が算法等式のみによって表される公理系)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、2(群とその例)、問10.を解いてみる。

問10.

$\begin{array}{l}L1\\ e=a/a=b/b\\ L2\\ a/e=a\\ L3\\ e/\left(b/c\right)=c/b\\ \\ e^{-1}=\left(e/e\right)/e=e/e=e\\ \\ ae=a/e^{-1}=a/e=a\\ ea=e/a^{-1}\\ =e/\left(\left(a/a\right)/a\right)\\ =e/\left(e/a\right)\\ =a/e\\ =a\\ \\ a{a}^{-1}=a/{\left(a^{-1}\right)}^{-1}\\ =a/\left(\left(\left(a^{-1}/a^{-1}\right)/a^{-1}\right)\right)\\ =a/\left(e/a^{-1}\right)\\ =a/\left(e/\left(\left(a/a\right)/a\right)\right)\\ =a/\left(e/\left(e/a\right)\right)\\ =a/\left(a/e\right)\\ =a/a=e\\ \\ a^{-1}a=a^{-1}/a^{-1}=e\end{array}$