数学 - 群論 - 部分群と生成系(部分集合, 部分群, 可換群)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、3(部分群と生成系)、問7.を解いてみる。

問7.

$\begin{array}{l}a,b\in H\\ a=x_1{x}_2···x_n\left(x_i\in S\cup S^{-1}\right)\\ b=y_1{y}_2···y_m\left(y_j\in S\cup S^{-1}\right)\\ \\ x\in S,y\in S^{-1}\\ xy=y{y}^{-1}xy\left(y^{-1}\in S\right)\\ =yx{y}^{-1}y\\ =yx\\ \\ x\in S^{-1},y\in S^{-1}\\ xy=y{y}^{-1}xy\left(y^{-1}\in S\right)\\ =yx{y}^{-1}y\\ =yx\\ \\ ab=x_1{x}_2···x_n{y}_1{y}_2···y_m\\ =y_1{y}_2···y_m{x}_1{x}_2···x_n\\ =ba\end{array}$