数学 - 群論 - 部分群と生成系(生成元, 可換律, 位数, 部分群)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群論)、3(部分群と生成系)、問8.を解いてみる。

問8.

$\begin{array}{l}S=\left\{\sigma ,\mathfrak{r}\right\}\\ H=S\cup S^{-1}\\ \sigma ={\sigma }^{-1}\\ \mathfrak{r}={\mathfrak{r}}^{-1}\\ {\sigma }_1{\sigma }_2···{\sigma }_n=\sigma \left(n=2k+1,k\in \mathbb{N}\right)\\ {\sigma }_1{\sigma }_2···{\sigma }_n=e\left(n=2k+2,k\in \mathbb{N}\right)\\ {\mathfrak{r}}_1{\mathfrak{r}}_2···{\mathfrak{r}}_n=\mathfrak{r}\left(n=2k+1,k\in \mathbb{N}\right)\\ {\mathfrak{r}}_1{\mathfrak{r}}_2···{\mathfrak{r}}_n=e\left(n=2k+2,k\in \mathbb{N}\right)\\ a,b\in H\\ ab=\sigma ,\mathfrak{r},e,\sigma \mathfrak{r}\\ G_1=\left\{e\right\}\\ G_2=\left\{e,\sigma ,{\sigma }^{-1}\right\}=\left\{e,\sigma \right\}\\ G_3=\left\{e,\mathfrak{r},{\mathfrak{r}}^{-1}\right\}=\left\{e,\mathfrak{r}\right\}\\ {\left(\sigma \mathfrak{r}\right)}^{-1}={\mathfrak{r}}^{-1}{\sigma }^{-1}=\mathfrak{r}\sigma =\sigma \mathfrak{r}\\ G_4=\left\{e,\sigma \mathfrak{r}\right\}\\ G_5=\left\{e,\sigma ,\mathfrak{r},\sigma \mathfrak{r}\right\}\end{array}$