数学 – 数学の威力を発揮する - 方程式 – 等式の証明(比例式, 比の値)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(数学の威力を発揮する - 方程式)、3.4(等式の証明)、比例式の問46.を解いてみる。

問46.

$\begin{array}{l}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\\ a=bk,c=dk\end{array}$
1. 
   $\frac{pbk+qdk}{qb+qd}=\frac{\left(pd+qd\right)k}{pb+qd}=k$
2. 
   $\begin{array}{l}\frac{b^2{k}^2+2b^{2}k+b^2}{b^{2}k}=\frac{k^2+2k+1}{k}\\ \frac{d^2{k}^2+2d^{2}k+d^2}{d^{2}k}=\frac{k^2+2k+1}{k}\end{array}$
3. 
   $\begin{array}{l}\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^{2}k+d^{2}k}=\frac{b^{2}k+d^{2}k}{b^2+d^2}\\ \frac{b^{2}k+d^{2}k}{b^2+d^2}\end{array}$
4. 
   $\begin{array}{l}\frac{b^2{k}^2+d^2{k}^2}{b^{2}k+d^{2}k}=\frac{b^{2}k+d^{2}k}{b^2+d^2}\\ \frac{b^{2}k+d^{2}k}{b^2+d^2}\end{array}$