数学 – 順序集合, Zorn の補題 - 順序集合(べき集合, 写像全体の集合, 順序同型, 大小関係, 包含関係)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(順序集合, Zorn の補題)、1(順序集合)、問題10.を解いてみる。

問題10.

$\begin{array}{l}\chi ,{\chi }^{\prime }\in C\\ \chi \le \chi \text{'}\\ \Rightarrow \forall x\in X\left[\chi \left(x\right)\le {\chi }^{\prime }\left(x\right)\right]\\ f:C\to \mathfrak{P}\left(X\right)\\ f\left(\chi \right)={\chi }^{-1}\left(1\right)\\ \\ \chi ,{\chi }^{\prime }\in C\\ \chi \le \chi \text{'}\\ \iff {\chi }^{-1}\left(1\right)\subset \chi {\text{'}}^{-1}\left(1\right)\\ \iff f\left(\chi \right)\subset f\left({\chi }^{\prime }\right)\end{array}$