数学 – 順序集合, Zorn の補題 - 整列集合とその比較定理(順序集合, 昇鎖, 降鎖)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(順序集合, Zorn の補題)、2(整列集合とその比較定理)、問題2.を解いてみる。

問題2.

降鎖が存在すると、Aは最小元をもたない。よって、Aが整列集合ならば、Aにおいて降鎖は存在しない。

Aが整列集合ではないとき、あるAの部分集合Xが存在して、Xは最小元をもたない。

このとき、Xの任意の元xに対して、a < x となるXの元 a が存在する。

よって、Aにおいて降鎖が存在する。

ゆえに、Aにおいて降鎖が存在しないならば、Aは整列集合である。

以上より、Aが全順序集合であるとき、Aが整列集合であるための必要十分条件は、Aにおいて降鎖が存在しないことである。