数学 – 順序集合, Zorn の補題 - 順序集合(全順序集合, 部分集合, 上限)

集合・位相入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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集合・位相入門(松坂 和夫(著)、岩波書店)の第3章(順序集合, Zorn の補題)、1(順序集合)、問題4.を解いてみる。

問題4.

Mが最大限をもつ場合。

$\begin{array}{l}\max M=x=a\in M\\ a\text{'}<x\end{array}$

$\exists x\in M\left[a\text{'}<x\wedge x<a\right]$

$\begin{array}{l}\forall a_0\in A\forall m\in M\left[m\le a_0\right]\\ a_0<a\Rightarrow \exists x\in M\left[a_0<x\wedge x\le a_0\right]\\ a\le a_0\\ \sup M=a\end{array}$