数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(平方和の性質2)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、平方和の性質の問16.を解いてみる。

問16.

$\begin{array}{l} a^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} + b^{2} x^{2} + b^{2} y^{2} - (a^{2} x^{2} + 2 a b x y + b^{2} y^{2}) \\ = a^{2} y^{2} - 2 a b x y + b^{2} x^{2} \\ = {(a y - b x)}^{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} a^{4} + b^{4} - a^{3} b - a b^{3} \\ = a^{3} (a - b) + b^{3} (b - a) \\ = (a - b) (a^{3} - b^{3}) \\ = (a - b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) \\ = {(a - b)}^{2} ({(a + \frac{1}{2} b)}^{2} + \frac{3}{4} b^{2}) \end{array}$
$\begin{array}{l} a^{2} + b^{2} + c^{2} + 3 - 2 (a + b + c) \\ = {(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} + {(c - 1)}^{2} \\ \geq 0 \end{array}$

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