数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(平方による比較2)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、平方による比較の問22.を解いてみる。

問22.

$\begin{array}{l}\left(p+q\right)\left(a+b\right)-\left(pa+qb+2\sqrt{paqb}\right)\\ pa+pb+qa+qb-pa-qb-2\sqrt{pqb}\\ =pb+qa-2\sqrt{paqb}\\ ={\left(\sqrt{pb}-\sqrt{qa}\right)}^2\ge 0\\ \left(p+q\right)\left(a+b\right)\ge {\left(\sqrt{pa}+\sqrt{qb}\right)}^2\\ \sqrt{\left(p+q\right)\left(a+b\right)}\ge \sqrt{pa}+\sqrt{qb}\end{array}$