数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(平方による比較5)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、平方による比較の問25.を解いてみる。

問25.

$\begin{array}{l}pa+qb-\left(p^{2}a+q^{2}b+2pq\sqrt{ab}\right)\\ =pa\left(1-p\right)+qb\left(1-q\right)+2pq\sqrt{ab}\\ =pa\left(1-p\right)+pb\left(1-p\right)+2p\left(1-p\right)\sqrt{ab}\\ =p\left(1-p\right)\left(a+b+2\sqrt{ab}\right)\\ =p\left(1-p\right){\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}^2\ge 0\\ pa+qb\ge \left(p^{2}a+q^{2}b+2pq\sqrt{ab}\right)\\ \sqrt{pa+qb}\ge p\sqrt{a}+q\sqrt{b}\end{array}$