数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(平方による比較)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、平方による比較の問21.を解いてみる。

問21.

$\begin{array}{l} 2 (a + b) - (a + b + 2 \sqrt{a b}) \\ = a + b - 2 \sqrt{a b} \\ = {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0 \\ 2 (a + b) \geq {(\sqrt{a} + \sqrt{b})}^{2} \\ \sqrt{2 (a + b)} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} \end{array}$
$\begin{array}{l} 3 (a + b) - (2 a + b + 2 \sqrt{2 a b}) \\ = a + 2 b - 2 \sqrt{2 a b} \\ = {(\sqrt{a} - \sqrt{2 b})}^{2} \geq 0 \\ 3 (a + b) \geq {(\sqrt{2 a} + \sqrt{b})}^{2} \\ \sqrt{3 (a + b)} \geq \sqrt{2 a} + \sqrt{b} \end{array}$

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