数学 - 群 - 正規部分群と商群(正規化群、中心化群、正規部分群)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、5(正規部分群と商群)、問12-(b).を解いてみる。

問12-(b).

$\begin{array}{l}x\in C\left(S\right)\\ s\in S\\ xs=sx\\ x\in N\left(S\right)\\ C\left(S\right)\subset N\left(S\right)\\ e,x^{-1}\in C\left(S\right)\subset N\left(S\right)\\ a\in N\left(S\right)\\ x\in C\left(S\right)\\ s\in S\\ ax{a}^{-1}s\\ =a{a}^{-1}xs\\ =sx\\ =sxa{a}^{-1}\\ =sax{a}^{-1}\\ ax{a}^{-1}\in C\left(S\right)\end{array}$