数学 – 大小関係をみる - 不等式 – 不等式の証明(絶対値に関する不等式, 差)

数学読本〈1〉
数・方程式/方程式/不等式
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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数学読本〈1〉数・方程式/方程式/不等式 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(大小関係をみる - 不等式)、4.3(不等式の証明)、絶対値に関する不等式の問27.を解いてみる。

問27.

$\begin{array}{l}\left|a\right|<\left|b\right|\\ \left|a\right|-\left|b\right|<0\\ \left|a+b\right|\ge 0\\ \left|a\right|-\left|b\right|\le \left|a+b\right|\\ \left|a\right|\ge \left|b\right|\\ \left|a\right|-\left|b\right|\ge 0\\ {\left|a+b\right|}^2-{\left(\left|a\right|-\left|b\right|\right)}^2\\ \ge {\left(a+b\right)}^2-\left(a^2+b^2-2\left|a\right|\left|b\right|\right)\\ =2\left(ab+\left|a\right|\left|b\right|\right)\\ =2\left(ab+\left|ab\right|\right)\ge 0\\ \left|a+b\right|\ge \left|a\right|-\left|b\right|\end{array}$