数学 - 群 - 正規部分群と商群(正規化群、中心化群)

代数系入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

学習環境

• 数式入力ソフト(TeX, MathML): MathType
• MathML対応ブラウザ: Firefox、Safari
• MathML非対応ブラウザ(Internet Explorer, Google Chrome...)用JavaScript Library: MathJax

代数系入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(群)、5(正規部分群と商群)、問12-(a).を解いてみる。

問12-(a).

$\begin{array}{l}a,b\in N\left(S\right)\\ aS=Sa\\ bS=Sb\\ abS=aSb=Sab\\ ab\in N\left(S\right)\\ s\in S\\ e\in G\\ eS=S=Se\\ e\in N\left(S\right)\\ x\in N\left(S\right)\\ xS=Sx\\ x^{-1}xS=x^{-1}Sx\\ S=x^{-1}Sx\\ S{x}^{-1}=x^{-1}Sx{x}^{-1}\\ S{x}^{-1}=x^{-1}S\\ x^{-1}\in N\left(S\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}a,b\in C\left(S\right)\\ s\in S\\ abs=asb=sab\\ es=s=se\\ a^{-1}s=a^{-1}sa{a}^{-1}=a^{-1}as{a}^{-1}=s{a}^{-1}\end{array}$