数学 - 線型代数 - 2次元と3次元の簡単な幾何学 - 空間における直線・平面の方程式(垂線の足、長さ)

線型代数入門
(岩波書店)
松坂 和夫 (著)

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線型代数入門 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(2次元と3次元の簡単な幾何学)、10(空間における直線・平面の方程式)、問11.を解いてみる。

問11.

$\begin{array}{l}P:\left(10,-5,4\right)\\ 垂線の足:Q\\ \overrightarrow{PQ}=k\left(6,-1,-1\right)\\ q-p=k\left(6,-1,-1\right)\\ q=p+k\left(6,-1,-1\right)\\ q=\left(10,-5,4\right)+k\left(6,-1,-1\right)\\ q=\left(10+6k,-5-k,4-k\right)\\ \left(6,-1,-1\right)·q=4\\ \left(6,-1,-1\right)·\left(10+6k,-5-k,4-k\right)=4\\ 60+36k+5+k-4+k=4\\ 38k=-57\\ k=-\frac{3}{2}\\ q=\left(1,-\frac{7}{2},\frac{11}{2}\right)\\ \left|\overrightarrow{PQ}\right|=\left|\left(-9,\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\right|=\sqrt{81+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{342}{4}}=\frac{3\sqrt{38}}{2}\end{array}$