数学 - 基本理論(Basic Theory) - 方程式と関数 - 方程式の根 - オイラーの贈物

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田武(著)、東海大学出版会)の第Ⅰ部(基礎理論(Basic Theory))、2章(方程式と関数)、2.1(方程式の根)、問題1.を解いてみる。

問題1.

$x = \sqrt{7} \pm \sqrt{7 - 2} = \sqrt{7} \pm \sqrt{5}$
$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{- 1 \pm \sqrt{3} i}{2}$
$\begin{array}{l} (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0 \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \\ x = - 1, \frac{1 \pm \sqrt{3} i}{2} \end{array}$
$\begin{array}{l} x^{2} = 5 \pm \sqrt{25 - 1} = 5 \pm 2 \sqrt{6} \\ x = \pm \sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}} \\ x = \pm \sqrt{{(\sqrt{2} \pm \sqrt{3})}^{2}} \\ 2 < \sqrt{6} < 2.5 \\ 5 - 2 \sqrt{6} > 0 \\ x = \pm (\sqrt{2} + \sqrt{3}), \pm (\sqrt{3} - \sqrt{2}) \end{array}$
$\begin{array}{l} 1 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ x^{2} + 2 x - 1 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}} = 0 \\ (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) + 2 (x + \frac{1}{x}) - 1 = 0 \\ {(x + \frac{1}{x})}^{2} - 2 (x + \frac{1}{x}) - 3 = 0 \\ (x + \frac{1}{x} - 3) (x + \frac{1}{x} + 1) = 0 \\ (x^{2} - 3 x + 1) (x^{2} + x + 1) = 0 \\ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \\ x = \frac{- 1 \pm \sqrt{3}}{2}, \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \end{array}$

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