数学 - 基本理論(Basic Theory) - 微分(Differentiation) - 微分の定義 - 微分係数と導関数(連続性と微分可能性) - オイラーの贈物

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
(東海大学出版会)
吉田 武 (著)

学習環境

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第Ⅰ部(基礎理論(Basic Theory))、3章(微分(Differentiation))、3.2(微分の定義)、3.2.1(微分係数と導関数)、問題1.を解いてみる。

問題1.

$\begin{array}{l}ϵを任意の正の整数とする。\\ \delta を0<\delta <ϵを満たす正の整数とする。\\ このとき、\\ \left|x-0\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|x\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|x\right|-0<\delta \\ \Rightarrow \left|\left|x\right|-\left|0\right|\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<ϵ\\ \\ \forall ϵ\in \mathbb{N}-\left\{0\right\}\exists \delta \in \mathbb{N}-\left\{0\right\}\left[\left|x-0\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<ϵ\right]\end{array}$

$\begin{array}{l}ϵを任意の正の整数とする。\\ \delta を0<\delta <ϵを満たす正の整数とする。\\ このとき、\\ \left|x-0\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|x\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|x\right|-0<\delta \\ \Rightarrow \left|\left|x\right|-\left|0\right|\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<ϵ\\ \\ \forall ϵ\in \mathbb{N}-\left\{0\right\}\exists \delta \in \mathbb{N}-\left\{0\right\}\left[\left|x-0\right|<\delta \Rightarrow \left|f\left(x\right)-f\left(0\right)\right|<ϵ\right]\\ \\ \underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+\Delta x\right)-f\left(0\right)}{\Delta x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}\\ \Delta x>0のとき、\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=1\\ \Delta x<0のとき、\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left|\Delta x\right|}{\Delta x}=-1\\ 1\ne -1\\ 微分不可能。\end{array}$