数学 - 基本理論(Basic Theory) - 積分(Integration) - 冪関数の積分 - 面積 - オイラーの贈物

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ
(東海大学出版会)
吉田 武 (著)

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オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ (吉田 武(著)、東海大学出版会)の第Ⅰ部(基礎理論(Basic Theory))、4章(積分(Integration))、4.3(冪関数の積分)、問題1.を解いてみる。

問題1.

1. 
   $\begin{array}{l}{{\displaystyle \int }}_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{2}{x}^2+1\right)dx\\ =2{{\displaystyle \int }}_0^{\sqrt{2}}\left(-\frac{1}{2}{x}^2+1\right)dx\\ =2{\left[-\frac{1}{2·3}{x}^3+x\right]}_0^{\sqrt{2}}\\ =2\left(-\frac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{2}\right)\\ =\frac{4\sqrt{2}}{3}\end{array}$
2. 
   $\begin{array}{l}1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{24}{x}^4=0\\ x^4-12x^2+24=0\\ x^2=6\pm \sqrt{36-24}=6\pm 2\sqrt{3}\\ x=\pm \sqrt{6\pm 2\sqrt{3}}\\ 2{{\displaystyle \int }}_0^{\sqrt{6-2\sqrt{3}}}\left(1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{24}{x}^4\right)dx\\ =2{\left[x-\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{120}{x}^5\right]}_0^{\sqrt{6-2\sqrt{3}}}\\ =2\left(\sqrt{6-2\sqrt{3}}-\frac{\left(6-2\sqrt{3}\right)\sqrt{6-2\sqrt{3}}}{6}+\frac{{\left(6-2\sqrt{3}\right)}^2\sqrt{6-2\sqrt{3}}}{120}\right)\\ =\frac{\left(120-120+40\sqrt{3}+36+12-24\sqrt{3}\right)\sqrt{6-2\sqrt{3}}}{60}\\ =\frac{\left(16\sqrt{3}+48\right)\sqrt{6-2\sqrt{3}}}{60}\\ =\frac{\left(4\sqrt{3}+12\right)\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{3}}}{15}\\ =\frac{4\sqrt{2}\left(3+\sqrt{3}\right)\sqrt{3-\sqrt{3}}}{15}\\ =\frac{4\sqrt{2}\sqrt{6\left(3+\sqrt{3}\right)}}{15}\\ =\frac{8\sqrt{3+\sqrt{3}}}{15}\end{array}$